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第一定义
平面内与两定点F₁、F的距离的和等于常数2a(2a>F1F2)的动点P的轨迹叫做椭圆。
椭圆定义说明
椭圆定义说明
即:│PF₁│+│PF₂│=2a
(注意:
│F₁F₂│=2c=2a时,它表示的是一条线段
│F₁F₂│=2c<2a时,它表示的是一个椭圆方程
│F₁F₂│=2c>2a时,它不表示任何图形)
其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│F₁F₂│=2c<2a叫做椭圆的焦距。P 为椭圆的动点。
椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为2a。
椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为2b。
第二定义
平面内到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合(定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数) 其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线(该定直线的方程是x=±a^2/c[焦点在X轴上];或者y=±a^2/c[焦点在Y轴上])。
其他定义
根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的斜率之积是定值，定值为e²-1〈前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 -(a²/b²)=1/（e²-1）〉,可以得出：
在坐标轴内，动点(x,y)到两定点(a,0)和(-a,0)的斜率乘积等于常数m(-1<m<0)。
注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以x=±a无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。
平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况，还有K应满足<0且不等于-1。
几何性质
1、范围：焦点在x轴上-a≤x≤a -b≤y≤b；焦点在y轴上-b≤x≤b -a≤y≤a。
2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
3、顶点：(a，0) (-a，0) (0，b) (0，-b)。
4、离心率：e=c/a。(虽然b/a也能刻画椭圆的扁平程度,但是c/a中a,c是确定的圆锥曲线的基本量,不仅可以有效刻画两个焦点离开中心的程度,而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性 )
5、离心率范围 0<e<1。
6、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆(当e越接近1时,椭圆越接近一条直线;当e越接近0时,椭圆越接近一条圆)。
7、焦点(当中心为原点时)（-c，0），（c，0）[椭圆躺着时]或（0，c），（0，-c）[椭圆站着时]。
8、x²/a²+y²/b²=1与x²/(ma)²+y²/(mb)²=1(a>b>0)(m为实数)为离心率相同的椭圆。
9、P为椭圆上的一点，a-c≤PF₁（或PF₂）≤a+c。
10、椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
11、椭圆长轴,短轴,半焦距的关系:a²=b²+c²
切线与法线
定理1：
设F₁、F₂为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧,∠APF₁=∠BPF₂。
定理2：
设F₁、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F₁PF₂。
上述两定理的证明可以查看参考资料。
解：设C:((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))=1-----式1；
(a^2)-(b^2)=(c^2)；
F(₁-c,0)；F(c,0)；P(xp,yp)
AB:(y-yp)=k(x-xp)=>y=kx+(yp-kxp);令m=yp-kxp=>AB:y=kx+m-----式2;
联立式1和式2消去y得:((k^2)+((b^2)/(a^2)))(x^2)+2kmx+((m^2)-(b^2))=0;
因为直线AB切椭圆C于点P，所以上式只有唯一解，则：
4((km)^2)-4((k^2)+((b^2)/(a^2)))((m^2)-(b^2))=0=>m^2=((ak)^2)+(b^2);
m^2=(yp-kxp)^2=((yp)^2)+((kxp)^2)-2kxpyp=((ak)^2)+(b^2);
=>((a^2)-(xp^2))(k^2)+2xpypk+((b^2)-(yp^2));
由根的判别式得：4((xpyp)^2)-4((a^2)-(xp^2))((b^2)-(yp^2))=0;
所以k值有唯一解：k=(-2xpyp)/(2((a^2)-(xp^2)))=-xpyp/((a^2)-(xp^2));
由式1得：(a^2)-(xp^2)=(ayp/b)^2=>k=-(xp(b^2))/(yp(a^2));
m=yp-kxp=(((ypa)^2)+((xpb)^2))/(yp(a^2))=((ab)^2)/(yp(a^2))=(b^2)/yp;
设A0F₁、B0F2分别过F₁、F2垂直AB于A0、B0；
A0F₁:(y-0)=(-1/k)(x+c)=>x+ky+c=0-----式3；
联立式2和式3消去y得：x=-(km+c)/((k^2)+1);
联立式2和式3消去x得：y= (m-kc)/((k^2)+1);
则：A0:(-(km+c)/((k^2)+1),(m-kc)/((k^2)+1));
A0F₁^2=((m-kc)^2)/((k^2)+1));
同理：B0F2:(y-0)=(-1/k)(x-c);
=>B0:((c-km)/((k^2)+1),(m+kc)/((k^2)+1));
B0F2^2=((m+kc)^2)/((k^2)+1));
PF₁^2=((xp+c)^2)+(yp^2);
PF2^2=((xp-c)^2)+(yp^2);
证明:若∠APF₁=∠BPF2，则直角三角形A0PF₁与直角三角形B0PF2相似；
=>A0F₁/PF₁=B0F2/PF2
=>(A0F₁^2)/(PF₁^2)=(B0F2^2)/(PF2^2)
=>(PF2^2)/(PF₁^2)=(B0F2^2)/(A0F1^2)
((m+kc)^2)/((m-kc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));-----式4
m+kc=(b^2)/yp-(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)-xpc)(b^2)/(yp(a^2));-----式5
m-kc=(b^2)/yp+(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)+xpc)(b^2)/(yp(a^2));----式6
把式5和式6代入式4得:
(((a^2)-xpc)^2)/(((a^2)+xpc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));
=>(((a^2)-xpc)^2)(((xp+c)^2)+(yp^2))=(((a^2)+xpc)^2)(((xp-c)^2)+(yp^2))
=>(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)+(((a^2)-xpc)^2)(yp^2)=(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)+(((a^2)+xpc)^2)(yp^2)
=>[(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)-(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)]=[(((a^2)+xpc)^2)-(((a^2)-xpc)^2)](yp^2)
=>[((a^2)-xpc)(xp+c)+((a^2)+xpc)(xp-c)][((a^2)-xpc)(xp+c)-((a^2)+xpc)(xp-c)]=4xpc(ayp)^2
=>(2(a^2)xp-2(c^2)xp)(2c(a^2)-2c(xp^2))=4xpc(ayp)^2
=>4xpc(b^2)((a^2)-(xp^2))=4xpc(ayp)^2
=>(b^2)((a^2)-(xp^2))=(ayp)^2
=>(ab)^2=((ayp)^2)+((bxp)^2)
=>((xp^2)/(a^2))+((yp^2)/(b^2))=1等式成立，∠APF₁=∠BPF₂得证