要判断和分析一个函数的图像，你可以考虑以下几个方面：
1. **定义域和值域：** 首先确定函数的定义域（输入值的范围）和值域（输出值的范围）。
2. **奇偶性：** 如果函数满足 $f(-x) = f(x)$，则它是偶函数。如果满足 $f(-x) = -f(x)$，则它是奇函数。奇偶性可以帮助你简化函数的图像分析。
3. **导数和极值：** 计算函数的导数，找出导数为零的点，这些点可能是函数的极值点（最大值或最小值）。通过二阶导数测试，可以确定这些极值点是局部最大值还是局部最小值。
4. **渐近线：** 确定水平渐近线（函数趋近于某个水平值时的情况）和垂直渐近线（函数在某个点或区间趋近于无穷大或无穷小时的情况）。
5. **拐点：** 如果函数的二阶导数存在，找出二阶导数为零的点，这些点可能是函数的拐点。
6. **周期性：** 如果函数满足 $f(x + T) = f(x)$，其中 $T$ 是一个正常数，那么函数是周期函数，周期为 $T$。
7. **图像对称性：** 有些函数图像在某个点或某条线上对称。例如，奇函数关于原点对称，偶函数关于 $y$ 轴对称。
8. **特殊点：** 查找函数的零点（函数等于零的点）和不连续点（函数在这些点不连续）。