分数裂项求和是一种特殊的数列求和技巧，它通常用于处理形如
\\frac{1}{n(n+1)}
n(n+1)
1
、
\\frac{1}{n(n+k)}
n(n+k)
1
等分数序列的求和。
对于形如
\\frac{1}{n(n+1)}
n(n+1)
1
的序列，裂项求和的基本公式是：
\\frac{1}{n(n+1)} = \\frac{1}{n} - \\frac{1}{n+1}
n(n+1)
1
=
n
1
−
n+1
1
这个公式是通过找两个分数的公共分母，然后进行通分，最后化简得到的。
对于更一般的形式
\\frac{1}{n(n+k)}
n(n+k)
1
，裂项求和的公式会有所不同，但基本思路是类似的。
当需要求三项的和时，可以分别应用裂项公式，然后求和。例如，考虑序列的前三项：
\\frac{1}{1 \\times 2} + \\frac{1}{2 \\times 3} + \\frac{1}{3 \\times 4}
1×2
1
+
2×3
1
+
3×4
1
应用裂项公式，得到：
= (1 - \\frac{1}{2}) + (\\frac{1}{2} - \\frac{1}{3}) + (\\frac{1}{3} - \\frac{1}{4})
=(1−
2
1
)+(
2
1
−
3
1
)+(
3
1
−
4
1
)
观察上式，可以发现从第二项开始，每一项的前半部分都会与前一项的后半部分相消，只留下首项的1和末项的
-\\frac{1}{4}
−
4
1
。
因此，求和结果为：
= 1 - \\frac{1}{4} = \\frac{3}{4}
=1−
4
1
=
4
3
这就是分数裂项三项求和的基本方法。对于更长的序列，可以依此类推，通过裂项和相消来简化求和过程。