1023的计数单位是“一”。在数学中，计数单位是指用来表示数的基本单位，如“一”、“十”、“百”、“千”等。对于数字1023，它可以用1000（一千）和23（二十三）来表示，因此它的计数单位是“一”。

此外，在计算机科学中，1023也经常被用作二进制数的表示，即2^10 - 1，这是因为在计算机中，数据通常以二进制形式存储和处理。在这种情况下，1023的计数单位可以看作是二进制位（bit）。

总之，1023的计数单位可以是“一”或二进制位（bit），具体取决于上下文和应用场景。